Задачи к § 2. Простейшие задачи в координатах (продолжение)

Применение метода координат к решению задач

Формулы координат середины отрезка и расстояния между двумя точками можно использовать для решения более сложных геометрических задач. С этой целью следует ввести прямоугольную систему координат и записать условие задачи в координатах. После этого решение задачи проводится с помощью алгебраических вычислений.

952. Докажите, что середина гипотенузы прямоугольного треугольника равноудалена от всех его вершин.

Решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Обозначим буквой М середину гипотенузы АВ. Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 282. Если ВС = а, АС = b, то вершины треугольника имеют координаты С (0; 0), В (а; 0), А (0; b). По формулам координат середины отрезка находим координаты точки М:

рис. 282

Пользуясь формулой расстояния между двумя точками, найдём длины отрезков МС и МА:

Таким образом, МА = МВ = МС, что и требовалось доказать.

953. Докажите, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей.

Решение

Пусть ABCD — данный параллелограмм. Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке 283. Если AD = BC = a, а точка В имеет координаты (b; с), то точка D имеет координаты (а; 0), а точка С — координаты (а + b; с). Используя формулу расстояния между двумя точками, находим:

АВ² = b² + с², AD² = а², АС² = (а + b)² + с², BD² = (а - b)² + с².

Отсюда получаем:

АВ² + ВС² + CD² + DA² = 2 (АВ² + AD²) = 2 (a² + b² + с²),

АС² + BD² = (а + b)² + с² + (а - b)² + с² = 2 (а² + b² + с²).

Таким образом,

АВ² + ВС² + CD² + DA² = АС² + BD²,

что и требовалось доказать.

954. Медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 160 см, а основание треугольника равно 80 см. Найдите две другие медианы этого треугольника.

955. Высота треугольника, равная 10 см, делит основание на два отрезка, равные 10 см и 4 см. Найдите медиану, проведённую к меньшей из двух других сторон.

956. Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны. Сформулируйте и докажите обратное утверждение.

957. Докажите, что если диагонали параллелограмма равны, то параллелограмм является прямоугольником.

958. Дан прямоугольник ABCD. Докажите, что для произвольной точки М плоскости справедливо равенство

AM² + СМ² = ВМ² + DM².

<<< К началу Ответы >>>